2019年6月24日のコメントペーパーより。レジュメは古典述語論理。
コメント：
も、
と同じく一段階上な感じがしました。
自体が「すべての…について…である」という述語であるというか。
回答：鋭いですね。そのとおりです。説明しますと、たとえば、「…は人間である」は「…」に個体の名前を入れると文になるので、個体についての述語です。この述語は個体の性質や関係を表します。
で、「…は人間である」から文を作る方法にはもう一つあって、すなわち、「すべての について…
…」と組み合わせて、
すべての について
は人間である
とやる方法です(日本語としても意味的にも少しぎこちないですが)。ここで、「すべての について…
…」は、「…」に (名前ではなく) 述語を入れると文になる表現なので、性質や関係についての述語、2階の述語です (対して「…は人間である」は1階の述語です)。
「存在は2階の述語である」というのは、フレーゲが見事に喝破したことで有名です(『算術の基礎』46, 53節など)。たとえば、
最大の自然数 (The maximum natural number) は存在しない
という文を考えます。「最大の自然数」は"the"がついていることから、何らかの個体を指示する名前のはずです。そしてそれゆえに、ここでの「存在しない」は1階の述語として使われています。
問題は、この文は最大の自然数は存在しないと主張しているので、「最大の自然数」は指示対象を欠いた名前であるはずだということです。では、この文はいったい何について何を主張しているのでしょうか。謎です。もし反対に、「最大の自然数」には何らかの指示対象があるのだと主張するなら、こんどは元の文が (意図に反して) 偽になってしまいます。存在が1階の述語だとすれば、存在しないものについて存在しないと語ることは不可能に見えます*1。
フレーゲはこの問題を、存在は2階の述語なのだと指摘することで解消してしまいます。すなわち、最大の自然数は存在しないと言いたいなら、まず
は他のどの自然数よりも大きな自然数である*2 [
最大の自然数である]
という述語を考えて、この述語が当てはまる個体が存在しないと言えばよい、とするわけです。これは、最大の自然数という存在するようなしないような、そういう謎めいた対象について何かを言っているわけではなく、たんに「 は他のどの自然数よりも大きな自然数である」という述語が何にも当てはまらないと言っているだけですから、先ほどのような、文の内容をどう理解すればよいかという問題は見当たりません。ということで、存在は個体についての述語ではなく、(1階の述語が表現する) 性質についての述語だと理解するのがよい、というわけです。
断っておくと、フレーゲの元々の議論はじっさいには上のようなものではなく (上のような例を念頭に置いていたのは間違いないと思いますが)、個数の言明についての議論の文脈で出てきます。「存在する」とは「少なくとも1つ」ということですから、ある種の数の表現です。そしてフレーゲは「存在する」だけでなく、0個、1個、2個、3個等々の個数の表現はすべて、性質についての述語であると考え、このアイディアをベースにして(それにもう一段階ひねりを加えて)、自然数を論理的に再構成してしまいます。授業で話した解析学の厳密化は、実数とその上の関数の性質を論理的に再構成するというプロジェクトですが、これはそのプロジェクトの行き着く果てにほかなりません。フレーゲの『算術の基礎』はこのようなキレキレのアイディアの宝庫ですから、ぜひ読んでみてください。
