可能世界の同一性 - 論理学FAQのブログ

2019年5月20日のコメントペーパーより。レジュメは様相命題論理。

コメント：あるモデルのなかに、命題変項への真理値の割り当てがすべて等しくなるような世界が2つあることは可能でしょうか。つまり、すべての命題変項 $p$ に対して

$v(w_1,p)=v(w_2,p)$

となるような $w_1,w_2$ があってもよいのでしょうか。

回答：モデルの定義にはこれを禁止する条件はないので可能は可能です。で、知りたいのはおそらく「上のような $w_1,w_2$ は実質的に同じ世界ではないのか」ということだと思います。気持ちはわかります。

ただし、命題変項への割り当てが一致するだけでは同じ世界とは言えないでしょうね。
たとえば、次のようなフレームを考えます。

f:id:takuro_logic:20190805225940p:plain

そして、このフレーム上の付値 $v$ がすべての命題変項 $p$ に対して $v(x,p)=v(y,p)$ を満たすものとしましょう。 $x$ と $y$ は命題変項の真理値については完全に一致した2つの世界ということになります。

しかしこのとき、 $v(x,p)=v(y,p)=1$ となる $p$ に対しては、 $v(x,\diamondsuit p)=1$ ですが、 $v(y,\diamondsuit p)=0$ です。他方、 $v(x,p)=v(y,p)=0$ となる $p$ に対しては、 $v(x,\Box p)=0$ ですが、 $v(y,\Box p)=1$ です。つまり、2つの世界のあいだには、様相命題の真偽にかんしてかなり食い違いがあり、同じ世界とは見なせないように思えます。

では、一致するのは命題変項だけでなくすべての論理式についてだ、としてみてはどうでしょうか。すなわち、すべての論理式 $A$ について

$v(w_1,A)=v(w_2,A)$

となる世界 $w_1,w_2$ はどうでしょうか。これらは実質的に同じものと見なすことができます。

ここで、あるモデル $\langle W,R,v \rangle$ が外延的 (extensional) であるとは、任意の $w_1,w_2\in W$ について、

すべての論理式 $A$ について $v(w_1,A)=v(w_2,A)$ ならば $w_1=w_2$

を満たすモデルのことだとします。つまり、すべての論理式の真理値が一致している、上の $w_1, w_2$ のような世界は同一になってしまっているモデルです。で、このような外延的なモデルだけを考えても、妥当な推論は変わりません。

どういうことかと言うと、推論が妥当であるとは「すべてのモデルで真理保存的であること」ですが、これを「すべての外延的モデルで真理保存的であること」と変えても、妥当な推論の集合は変わらないということです。妥当な推論は妥当なまま (これはじつは当たり前) であり、妥当でない推論も非妥当なまま (こちらが本質的) です。

これがなぜかを説明しはじめるとたいへんなのでここで止めておきますが*1 いずれにせよ、以上が意味しているのは、すべての論理式に対して真理値が一致する2つの世界は、妥当な推論とそうでない推論を区別するという論理学の目的に照らして考えるかぎり、同一視してもかまわない、ということですね。

これは言い換えると、可能世界の同一性は、そこで真になる命題の集合 (偽のほうはその補集合) によって決まる、ということですね。とすると、そこからもう一歩進んで、可能世界というのは要するに真なる命題の集合なのである、可能世界なるものがこの世界とは別に存在するのではなくて、それらは何らかの言語的な存在者にすぎない、と主張する立場もありそうですね。ま、わたしはそのあたりはあまり深入りはしたくないのでこのへんで。

*1:完全性定理の証明をやるとすぐわかると思います。