様相を「ならば」と「かつ」で定義する

2019年5月20日のコメントペーパーより。レジュメは様相命題論理。

コメント：否定 $\neg A$ は $A\supset \bot$ という風に表せるが、 $\Box$ や $\diamondsuit$ はそういう風に表せなさそう。様相というのは、その意味で、一段"上"な感じがしますがどうですか？

回答：残念でした！表せます！でも「一段"上"」というのは当たっているかもしれません。

まず、否定について確認しておきましょう。古典論理のモデル論で議論するとして、 $\bot$ をどのようなモデル $v$ においても $v(\bot)=0$ となるような特別な命題定項として導入します。すると、任意のモデル $v$ と論理式 $A$ について

　 $v(\neg A)=v(A\supset \bot)$

となるので、 $\supset$ と $\bot$ があれば、それらによって $\neg$ は定義できるというわけです。

上のコメントは、 $\Box$ と $\diamondsuit$ について同じようなことができないかという趣旨ですね。まず、どのようなモデル $v$ においても $v(\top)=1$ となるような命題定項 $\top$ を導入して、

　 $\Box A:= \top \supset A;\quad \diamondsuit A:= A\wedge \top$

とすれば、それらしいものはできます。

問題は、古典論理の真理値表で考えると、 $\top \supset A$ も $A\wedge \top$ も、じつは $A$ と同じ真理値になってしまうことです。必然性と可能性という様相が、現実性と同じになってしまって「潰れて」しまうわけです。ということで、古典論理では様相を表せなさそうというのは正しいです。

しかし、古典論理で考えないといけない理由などどこにもありません。以前に「加法的連言・選言」と「乗法的連言・選言」にかんして述べたように、古典論理はいろいろな微細な差異を潰すことで成立している論理です。古典論理の真理値表のことは考えずにやりましょう。

他方で、古典論理から離れてしまうと、様相を定義するための土台としての含意や連言ってそもそも何なのかがよくわからなくなりますね。また、同じ理由で、定義する目標としての様相 $\Box$ , $\diamondsuit$ ってそもそも何なのという話にもなります。ということで、土台作りから始めましょう。

定義 (帰結関係)

$A_1, \ldots, A_n\vdash B$ は $A_1,\ldots, A_n$ から $B$ が帰結することを表す。 $\vdash$ は次の2つの性質を満たすと前提する。

　 $\text{(Id) } A\vdash A;\quad \text{(Cut) } A\vdash B$ かつ $X(B)\vdash C$ ならば $X(A)\vdash C$

ただし、 $X(B)$ は $B_1,\ldots, Bk, B, D_1,\ldots,D_m$ のような列を表し( $k,m\geq 0$ )、 $X(A)$ は $B$ を $A$ で置き換えた $B_1,\ldots, Bk, A, D_1,\ldots,D_m$ を表す。

ここでの $\vdash$ は、古典論理やその他、どの論理かを特定せずに、帰結関係 (妥当な推論) について一般的に話すための記号です。

次は、連言・選言とは何かを定義しましょう。

定義 (連言・選言)

次の性質を満たす2項結合子 $\wedge,\vee$ を、それぞれ(加法的)連言および選言と呼ぶ。

　( $\wedge$ ) $A\wedge B\vdash A;\ A\wedge B\vdash B;\ C\vdash A$ かつ $C\vdash B$ ならば $C\vdash A\wedge B$

　( $\vee$ ) $A\vdash A\vee B;\ B\vdash A\vee B;\ A\vdash C$ かつ $B\vdash C$ ならば $A\vee B\vdash C$

真理値表であれ、可能世界意味論であれ、あるいは証明論的な定義であれ、その定義の仕方にかかわらず、帰結関係 $\vdash$ のもとで、以上の性質を満たすならそれを連言や選言と呼ぼう、という趣旨です。もちろん、真理値表で定義される $\wedge,\vee$ は以上を満たします。

連言・選言と来たので、含意を定義します。含意はまた別の種類の連言、融合積 (あるいは乗法的連言) とセットで定義されます。

定義 (融合積・含意)

次の同値性を満たす2項結合子 $\circ, \to$ をそれぞれ融合積、含意と呼ぶ。

　( $\circ\to$ ) $A\circ B\vdash C\iff A,B\vdash C\iff A\vdash B\to C$

含意も重要ですが、加法的連言とは区別される融合積を使うのがポイントになります。

以上が定義をするために使う「土台」です。次はこれらを使って定義するターゲットを定めましょう。まずは、この一般的な枠組みにおける否定の扱いを見ておきましょう。

定義 (否定)

次の性質を満たす1項結合子 $\neg$ を否定と呼ぶ。

　( $\neg$ ) $A\vdash B$ ならば $\neg B\vdash \neg A$

否定とは「帰結関係の順序を逆にする」操作なのだという定義です。このようにミニマルな役割のみで定義すると、わりと簡単にこの性質を満たす結合子は定義できます。

命題(否定を定義する)
任意の論理式 $C$ をひとつ固定する。任意の論理式 $A$ について

　 $\neg A:= A\to C$

と定義すれば、 $\neg$ は否定である。すなわち上の( $\neg$ )を満たす。

証明は書くのがたいへんなので省略しましょう。PDFのp.7を見てください。

冒頭に見た $\neg A:= A\supset \bot$ とちがい、上の定義は $\bot$ ではなく、任意の論理式 $C$ を使っています。このように定義した否定は、

　 $\neg A\wedge \neg B\vdash \neg (A\vee B);\ \neg (A\vee B)\vdash \neg A\wedge \neg B$
　 $\neg A\vee \neg B\vdash \neg (A\wedge B); \ A\vdash \neg \neg A$

などは満たしますが、

　 $\neg (A\wedge B)\vdash \neg A\vee \neg B;\ \neg\neg A\vdash A;\ A\wedge \neg A\vdash C$

は満たしません (古典論理ではこれらも成り立ちます)。これらを成り立たせるためには、 $\neg$ を定義するために使う $C$ や $\to$ に条件を付け加えなければなりません。それこそ任意の $C$ ではなく $\bot$ を使うとかですね。

雰囲気はつかめたでしょうか。必然性と可能性に進みましょう。

定義 (必然性・可能性)

次の条件を満たす1項結合子 $\star$ を 正の様相 (positive modality)と呼ぶ。

　( $\star$ ) $A\vdash B$ ならば $\star A\vdash \star B$

$\Box$ が正の様相であり、さらに次を満たすとき、 $\Box$ を必然性と呼ぶ。

　( $\Box$ ) $\Box A\wedge\Box B\vdash \Box (A\wedge B)$

$\diamondsuit$ が正の様相であり、さらに次を満たすなら、 $\diamondsuit$ を可能性と呼ぶ。

　( $\diamondsuit$ ) $\diamondsuit (A\vee B) \vdash \diamondsuit A\vee \diamondsuit B$

正の様相は帰結関係の順序を保存する演算子です (この観点からすると、上で定義した否定は「負の様相 (negative modality)」にほかなりません)。そして上の定義では、それらのうち、必然性と可能性を、それぞれが満たすべき条件によって区別しています。連言と仲がよいのが必然性、選言と仲がよいのが可能性です。

では、否定のときと同じように、 $\Box$ と $\diamondsuit$ も定義しましょう。

命題 (正の様相を定義する)

任意の論理式 $C$ をひとつ固定する。任意の論理式 $A$ について

　 $\Box A:= C\to A;\ \diamondsuit A:= A\circ C$

と定義すれば、 $\Box$ および $\diamondsuit$ はいずれも ( $\star$ ) を満たし、さらにそれぞれ ( $\Box$ ) および ( $\diamondsuit$ ) を満たす。

証明はふたたびPDFを見てください。

以上の定義を古典論理の含意 $\supset$ と連言 $\wedge$ で考えたときに、どう「潰れる」かを確認します。まず、 $\Box A=C\supset A$ と $\diamondsuit A=A\wedge C$ とは必ずしも同値ではないですが、 $\Box A$ は ( $\diamondsuit$ ) も満たし、 $\diamondsuit A$ は ( $\Box$ ) も満たしてしまいます。つまり、どちらも必然性でもあり可能性でもあるという、よくわからない演算子だということになります。そしてさらに、 $C$ を命題定項 $\top$ に変えると、最初に述べたように、 $\Box A$ と $\diamondsuit A$ と $A$ は一致して、様相が完全に潰れてしまいます。

他方で、以上の定義だけの範囲では、もちろん $\Box A=C\to A$ は( $\diamondsuit$ ) を満たさず、 $\diamondsuit A=A\circ C$ は ( $\Box$ ) を満たしません。つまり、必然性と可能性はちゃんと区別されます。ただし、

　 $\Box (A\to B)\vdash \Box A \to \Box B;$
　 $\Box A\vdash A;\ \Box A\vdash \Box \Box A$

といった推論は成り立ちません。これらを成り立たせたいのであれば、含意や連言、それに $C$ に適切な条件を付け加える必要があります (付け加えすぎると古典論理になって潰れてしまいます)。

また、こうした古典論理よりも弱い含意や連言を扱うときにいちばんお手軽なのは、可能世界意味論の枠組みを使ったモデル論です (2項関係ではなく3項関係を使ったりもしますが)。ということで、真理値表のシンプルなモデルで様相を適切に表すことはできず、可能世界の枠組みを使うという意味で一段"上"に行かないといけない、というのはある意味で正しいわけです。

以上のように、どのような推論を満たすかという一般的な観点から結合子や演算子を特徴づけるという考え方は、

philpapers.org

から学びました。とくに2章、3章ですね。この本は、様相論理くらいまでひととおり勉強した人が読むと、わりと「なるほど〜そういうことだったのか」と思うところが多いのではないでしょうか。論理学初学者だと旨味がわからないかも。いまアマゾン見たらKindle版も出てますね。

もうひとつ、正の様相には必然性と可能性の2つがあるのに、負の様相 (否定) は1つなのかと思った方、目のつけどころがすばらしいです。じつは2つあります。後期の最後にやる予定ですのでお楽しみに。

論理学FAQのブログ

授業でもらったコメントに対して書いたリプライを、ブログ形式に編集しました。

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