2019年5月7日のコメントペーパーより。レジュメは古典命題論理。
コメント：トートロジーと矛盾を合わせても、それ以外のものと比べるとほんの一部のように思ったのですが、そんなことはないのですか？
回答：教科書的な回答をすると、そんなことはないんですね。細かいことは省きますが、まず、すべての論理式の数は無限にあります。無限にもいろいろな大きさはあるのですが、論理式の数は、いまやっているふつうの命題論理の範囲では、そのうちもっとも小さな可算無限 (countable infinite)です。自然数と同じだけの数、言い換えると、自然数と一対一対応がつくだけあります。
次に、トートロジーでも矛盾でもない論理式も無限にあります。そのような論理式の典型例が命題変項ですが、命題変項は
と可算無限個あります。
では、トートロジーや矛盾はどうでしょうか。たとえば排中律 はトートロジーですね。どんなモデルでも真理値1です。とすると、
という形の論理式もすべてトートロジーになります。選言は片方が1なら1なので、排中律の横に何を選言でくっつけても真理値は1です。こうしてトートロジーも無限にあることがわかりました(もちろんこれら以外の形をしたトートロジーもたくさんあります)。
矛盾の場合も同様です。 は矛盾です。つねに真理値0です。そして、連言は片方が0なら0になりますから、やはり、
と、矛盾も無限にあることがわかります。
ということで、トートロジーも、矛盾も、そのどちらでもない論理式も、いずれも可算無限個あるのですべて同数で、その意味では「ほんの一部」ではないことになります*1。
とはいえ、質問をくれた方は「そういう話じゃないんだけど…」と思われるかもしれません。トートロジーや矛盾は「つねに1」とか「つねに0」とかの極限事例であり、なぜそんなキワキワのところに注目するのかということだと思います。気持ちとしてはよくわかります。関連した質問が以下に続きます：
